fältstorleken

Fältstorleken, eller fältets storlek, är antalet element i ett ändligt fält. Den betecknas vanligen som q. För ett ändligt fält F med q element gäller ofta F ≅ GF(q) (GF står för Galois Field). Fältstorleken är en central parameter i många matematiska och tillämpade sammanhang eftersom den bestämmer hur aritmetik över fältet fungerar.

I teoretisk algebra byggs fält av två huvudtyper: primfält och extenstionsfält. Ett primfält GF(p) har storlek q = p där p är ett primtal. För n > 1 kan man konstruera ett extenstionsfält GF(p^n) genom att ta GF(p) adjoin ett irreduktibelt polynom av grad n och arbeta modulo detta polynom. Fältets karaktäristik är p, och antalet element är p^n.

Exempel: GF(2) har två element, 0 och 1; GF(2^8) har 256 element och används i kryptografiska och kodningstekniska tillämpningar såsom AES och många felkorrigeringsscheman. GF(3^2) har 9 element. Fält används inom kodningsteori (till exempel Reed-Solomon-koder), digital kommunikation och lagring samt i kryptografi (elliptiska kurvor definieras över ändliga fält) där fältets storlek påverkar prestanda och säkerhet.

I praktiken utförs aritmetiken i GF(p^n) via operationer modulo p eller via polynommodulär reduktion med ett valt irreduktiblt polynom av grad n. Den multiplicativa gruppen av icke-noll element är cyklisk med ordning q−1. Fältets storlek är invariant under isomorfier, och olika representationer av samma fält används i olika tillämpningar.