feltdefinisjoner

Feltdefinisjoner refererer til de formelle definisjonene av algebraiske felt i matematikk. Et felt er en mengde F utstyrt med to binære operasjoner, addisjon og multiplikasjon, som oppfyller visse aksiomer. Aksiomene krever at (F, +) er en abelsk gruppe med identiteten 0, at (F \ {0}, ·) er en gruppe med identiteten 1, og at multiplikasjonen fordeler over addisjon: a · (b + c) = a · b + a · c for alle a, b og c i F. Begge operasjoner er lukkede i F, og hvert element har en additive invers og hvert ikke-null element har en multiplikativ invers.

Egenskaper: Feltet har karakteristikk som enten er et primtal p eller null. Felt kan inneholde underfelter, og de kan være endelige eller uendelige. Endelige felter kalles ofte GF(p^n) og er sentrale i kryptografi og koding, mens tallfeltene som Q (rationelle), R (reelle) og C (kompakte) er uendelige felter.

Eksempler: De mest kjente feltene er Kvaliteten Q av rasjonale tall, de reelle tallene R og de komplekse tallene C. Endelige felter inkluderer GF(p) for et primtall p og mer generelt GF(p^n) for n > 1, som bygges ved polynomielt utvidelser over GF(p).

Anvendelser: Feltstrukturer brukes i tallteori, geometrisk algebra og algebraisk analyse, samt i praksisfelt som kryptografi, feilrettingskoder og datateknologi. De gir grunnleggende rammeverk for å studere polynomer over felter og endelige utvidelser.

Relasjoner: Et felt er en spesiell type ring; alle felter er kommutative ringer med enhet hvor alle ikke-null elementer har invers. Mange konsepter følger fra denne kombinasjonen, som homomorfier, isomorfier og feltutvidelser. Se også ringteori, polynom over en felt og feltutvidelser.