faktorizaci

Faktorizace je proces rozkladu objektu na součin jeho jednodušších faktorů, které po sobě dávají původní výraz nebo číslo. V matematice se pojem používá pro různé struktury, nejčastěji pro čísla a polynomy, ale také pro matice a algebraické výrazy. Cílem je porozumět vnitřní struktuře daného objektu a zjednodušit jeho práci s ním.

U čísel se hovoří o prvočíselném rozkladu. Každé kladné číslo větší než 1 lze jednou vyjádřit jako součin prvočísel a toto rozložení je jedinečné až na pořadí faktorů (fundamental theorem of arithmetic). V praxi se používají jednoduché metody i pokročilé algoritmy pro velká čísla, což má význam v kryptografii.

U polynomů se faktorizace týká rozkladu na součin irreducibilních polynomů nad daným tělesem. U polynomů s celočíselnými koeficienty platí Gaussova věta o obsahu a primitive polynomials. Základní metody zahrnují hledání racionálních kořenů, syntetické dělení a dalších technik; pro polynomy nad konečnými poli se používají speciální algoritmy (Berlekamp, Cantor–Zassenhaus).

V širším smyslu se faktorizace uplatňuje také v lineární algebře (faktorizace matic jako LU, QR), v number theory a v kryptografii, kde obtížnost faktorizace velkých čísel ovlivňuje bezpečnost systémů. Vývoj algoritmů pro faktorizaci zůstává důležitou oblastí počítačové matematiky a teoretické informatiky.