factoriseeritavate

Factoriseeritavat ovat lausekkeita, jotka voidaan esittää tuottona kahdesta tai useammasta ei-triviaalista tekijästä. Termiä käytetään pääasiassa algebrassa ja lukuteoriassa kuvaamaan olennaisesti sitä, että lauseke ei ole irreducible vaan sen voi jakaa pienempiin tekijöihin. Factoriseeritavuus riippuu siitä, millaisen kriteerin alaan käytetään, esimerkiksi polynomeja tutkitaan usein kokonaislukukertoimilla (Z) tai rationaalilukujen luvulla (Q).

Polynomien kohdalla lauseketta pidetään factoriseeritettavana, jos se voidaan kirjoittaa tuotteen muodossa. Esimerkiksi polynomi x^2 - 5x + 6 on factoriseeritava (muotoaan (x-2)(x-3) käyttäen). Samaan aikaan polynomi x^2 + 1 on kokonaislukujen suhteen irreducible, vaikka se factorisoituisi kompleksitasolla (x - i)(x + i). Eri kertakokoelman alustoilla factoriseeritavuus voi muuttua: se voi olla factoriseeritava Q:ssa, Z:ssa tai R:ssa.

Käytännön keinot factoriseerimiseen sisältävät erityyppisiä menetelmiä. Yleisiä keinoja ovat tekijöiden etsiminen tekijäyhdistelmien avulla (esimerkiksi kappalejaolla, neliöiden erottelu, tehoneroitus), sekä erityisien muotojen tunnistaminen (ero → erotus neliöiden, summa/difference of cubes). Rational roots -teoria ja polynomijakoprosentit auttavat löytämään mahdollisia lineaarisia tekijöitä. Irreducible-polynomeja ei voi kirjoittaa pienempiin tekijöihin tekijöihin kyseisessä kentässä.

Sovelluksissa factoriseeritavuutta hyödynnetään yhtälöiden ratkaisemisessa, lausekkeiden yksinkertaistamisessa sekä lukuteoriassa. Faktorointiin liittyy myös merkittäviä teoreettisia tuloksia, kuten Gaussin lauseke ja Eisensteinin kriteeri irreducibiliteetin arvioinnissa.

---