exponenciació

L'exponenciació és l'operació de elevar una base a una potència. S’escriu com a^b, on a és la base i b l’exponent. Quan l’exponent és un enter positiu n, a^n és el producte de n factors a: a^n = a × a × ... × a (n vegades). Si l’exponent és 0, a^0 = 1 per a ≠ 0; i si és negatiu, a^{-n} = 1/a^n.

Les regles fonamentals inclouen: a^m · a^n = a^{m+n}, (a^m)^n = a^{mn} i (ab)^n = a^n b^n. També existeix a^{-n} = 1/a^n i a^0 = 1 (per a ≠ 0).

Exponents fraccionaris i radicals: per a>0 i enter p i q>0, a^{p/q} és igual a (a^p)^{1/q}, és a dir l’arrel q de a^p (equivalent a l’expressió a^{1/q}^p). Quan l’exponent és real, a^x és definible per a>0 com e^{x ln a}.

Funció exponencial: la funció x ↦ a^x amb a>0 és contínua, i creixent si a>1 o decreixent si 0<a<1. L’exponenciació natural, e^x, és una cas especial important, ja que la seva derivada és igual a la funció mateixa i té propietats útils en anàlisi i modelització.

Aplicacions i extensions: l’exponenciació és essencial en finances (interès compost i creixement), biologia (creixement poblacional), física i informàtica. En àlgebra lineal, és possible parlar de potències de matrius, i existeixen definicions més generals d’exponenciació en diferents estructures matemàtiques.