etäisyysfunktioon

Etäisyysfunktio (usein kutsutaan myös etäisyysmitta) on matemaattinen funktio, joka antaa kahden alkion tai elementin välisen etäisyyden. Olkoon X joukko ja d: X × X → [0, ∞) tällainen funktio. Sille on ominaisia seuraavat ehdot: d(x,y) ≥ 0 kaikille x,y; d(x,y) = 0 vain silloin, kun x = y; d(x,y) = d(y,x) (symmetria); sekä kolmion epäyhtälö d(x,z) ≤ d(x,y) + d(y,z) kaikille x,y,z ∈ X. Kun nämä ehdot toteutuvat, d määrittelee metriikan, ja X saa sen myötä rakenteen, jolla voidaan mitata etäisyyksiä.

Monet tunnetuista etäisyyksistä ovat peräisin normeista ja ne tuottavat erilaista geometriaa riippuen siitä, miten pistetuloa lasketaan. Esimerkkejä ovat euklidinen etäisyys d2(x,y) = sqrt(∑(xi − yi)²) R^n; Manhattan- eli L1-etäisyys d1(x,y) = ∑|xi − yi|; Chebyshev- eli L∞-etäisyys d∞(x,y) = max_i |xi − yi|. Välineistettyjä etäisyyksiä ovat Hamming-etäisyys merkkijonojen välillä sekä Levenshtein-etäisyys kahden sanan muokkauksien määrän mittaamiseen. Lisäksi etäisyyksiä määritellään verkkojen lyhimmän polun pituuksien kautta ja niitä käytetään usein monimutkaisissa tiloissa sekä tilastotieteessä.

Rakentaminen ja sovellukset: Etäisyysfunktio määrittää topologian ja rakenteelliset ominaisuudet, kuten konvergenssit ja jatkuvuuden, metrisen tilan tapauksessa. Käytännössä etäisyysmitta ohjaa monia algoritmeja ja menettelyjä, kuten klusterointia (esim. k-means), lähimmän naapurin haun ja tekonäköä sekä GIS- ja tietojenkäsittelysovelluksia. Eri etäisyysfunktiot purkavat erilaista tulkintaa tiedoista ja voivat siten vaikuttaa tulosten merkitykseen.