equivalenssi

Ekvivalenssi (suom. ekvivalenssi) on käsite, joka ilmaisee samanlaisuuden tietyn kontekstin puitteissa. Matematiikassa ja logiikassa ekvivalenssirrelaatio on binary relation ~ joukossa S, joka täyttää kolme ominaisuutta: reflektiivisyyden (jokaiselle x, x ~ x), symmetrisyys (jos x ~ y, niin y ~ x) ja transitiivisuus (jos x ~ y ja y ~ z, niin x ~ z). Tällainen suhde jakaa S:n ekvivalenssiluokkiin [x] = { y ∈ S | y ~ x }. Ekvivalenssiluokkien kokoelma S/~ muodostaa rakenteen, jossa kukin alkio kuuluu täsmälleen yhteen luokkaan.

Esimerkkejä: kongruenssi modulo n on ekvivalenssirelaatio Z: x ≡ y (mod n) jos ja vain jos n jakaa erotus x−y. Toisena esimerkkinä identiteettirelaatio, jossa x ~ y iff x = y, antaa triviaalin ekvivalenssiluokkien jaon. Loogisessa yhteydessä p ja q ovat ekvivalentteja, jos p ↔ q on tosi.

Käytännössä ekvivalenssit mahdollistavat luokkien muodostamisen ja asioiden systematisoinnin. Esimerkiksi lukujen modulo-n luokkien kautta voidaan käsitellä jäännöksiä, tai algebran rakenteet voidaan luokitella isomorfisuusluokkien kautta. Ekvivalenssi on keskeinen käsite lukuisissa matematiikan, logiikan ja tietojenkäsittelyn teoreettisissa sekä käytännön sovelluksissa, koska se antaa keinon yksinkertaistaa ja järjestellä monimutkaisia kokonaisuuksia.