epätäydellisyyslauseisiin

Gödelin epätäydellisyyslauseet ovat kaksi perustavanlaatuista tulosta matemaattisessa logiikassa, jotka matemaatikko Kurt Gödel julkaisi vuonna 1931. Nämä lauseet käsittelevät muodollisten aritmeettisten järjestelmien rajoituksia.

Ensimmäinen epätäydellisyyslause sanoo, että jokaisessa riittävän vahvassa ja ristiriidattomassa muodollisessa aritmeettisessa järjestelmässä on väittämiä, joita ei voida todistaa tai kumota järjestelmän sisällä. Toisin sanoen, on olemassa tosia aritmeettisia väittämiä, joille ei voida löytää todistusta järjestelmän aksioomista ja päättelysäännöistä.

Toinen epätäydellisyyslause laajentaa ensimmäistä sanoen, että jos riittävän vahva ja ristiriidaton muodollinen aritmeettinen järjestelmä on itsessään ristiriidaton, niin sen ristiriidattomuutta ei voida todistaa järjestelmän itsensä sisällä. Tämän todistamiseksi tarvitaan vahvempi järjestelmä.

Nämä lauseet osoittivat, että klassinen matemaattinen pyrkimys luoda täydellinen ja yhdenmukainen aksiomaattinen järjestelmä kaikelle matematiikalle on mahdoton. Ne vaikuttivat syvästi logiikan, tietojenkäsittelytieteen ja filosofian aloihin, haastaen käsityksiä totuudesta ja todistettavuudesta.