ekvivalentsusklassis

Ekvivalentsusklassis on hulgast S üks osa, kuhu kuuluvad kõik elemendid, mis on omavahel ekvivalentsed sama ekvivalentsusrelaatsiooniga ~. Ehk [a] = { x in S | x ~ a } on ekvivalentsusklassi moodustanud elementide kogum a jaoks.

Kui ~ on ekvivalentsusrelaatsioon hulgale S, jaotab see S mitmeks ekvivalentsusklassis. Iga element kuulub täpselt ühte klassi ja erinevad klassid ei lõiku; igale elemendile vastab üks ja ainult üks ekvivalentsusklassi.

Näited: 1) Täisarvudele modulo n defineeritakse [a] = { b in Z | b ≡ a (mod n) }. Sellised klassid [0], [1], ..., [n-1] moodustavad ekvivalentsusklasse. 2) Kui ekvivalentsusrelaatsioon on ainult võrdus, siis [a] = {a}.

Kvotihulk S/~ nimetatakse sageli kvotiks ja tähistatakse S/~. See koosneb kõigist ekvivalentsusklassimide kogumitest; kvot võimaldab S-d käsitleda kui disjointsete klasside kogumit ja luua uusi struktuure, kus tegelikust elemendist arvestatakse ainult selle klassi.

Seosed ja rakendused: Ekvivalentsusklassimide mõiste on keskne hulgateoorias, algebras ja topoloogias. Näiteks modulo-arvud annavad lihtsate kvotihulkade näiteid; topoloogias võimaldavad ekvivalentsusrelaatsioonid luua kvoti ruume, kus punktide asemel on klassid. Ekvivalentsusklassimide ja nende kvoti struktuurid võimaldavad klassifitseerimist, süstematiseerimist ja erinevate matemaatiliste objektide peenemat jaotust.