ekstrempunkter

Et ekstrempunkt er et punkt i funksjonens domene der funksjonen oppnår en lokal eller global ekstremum. En lokal maksimum oppstår når verdien i punktet er høyere enn i alle nærliggende punkt (innenfor et lite område i domene), mens en lokal minimum er lavere enn verdiene i nærliggende punkt. Et globalt (absolutt) maksimum (minimum) er den høyeste (laveste) verdien blant hele domenet.

For differensierbare funksjoner følger ofte nødvendige betingelser. Hvis en funksjon har et lokaluttak av en ekstremum i et indre punkt, må den deriverte være lik null (Fermats teorem). Punktet kalles da et kritisk punkt. Den første avledede testen kan bruke fortegnskift i f'(x) for å avgjøre om det er et maksimum eller minimum. Den andre avledede testen bruker f''(x): hvis f''(x0) > 0 ved et kritisk punkt, er det et lokalt minimum; hvis f''(x0) < 0, er det et lokalt maksimum; hvis f''(x0) = 0, er testen uavgjort og må vurderes på andre måter.

I flerdimensjonale tilfeller gjelder lignende prinsipper med gradient og Hessian. Et punkt er et lokalt maksimum hvis gradienten er null og Hessianen er negativt definitt; et lokalt minimum hvis Hessianen er positivt definitt. Bevegelser langs grensepunkter må vurderes separat, særlig når domenet ikke er åpent eller når begrensninger finnes.

Eksistens og grenser: hvis domenet er kompakt og funksjonen er kontinuert, finnes det alltid globale maksimum og minimum (ekstremverdier blir oppnådd). Ved konvensjonelle optimeringsproblemer kan ekstern betingelser (konstruksjoner) løses med metoder som Lagrange-multiplikatorer.

Eksempel: f(x) = -x^2 har lokalt og globalt minimum ved x = 0; f(x) = x^3 har ingen lokale ekstrempunkter, men av og til et infleksjonspunkt.