egyenltlenségeket

Az egyenlőtlenségek olyan állítások, amelyek két kifejezés közötti viszonyt írnak le, általában a kapcsolók <, ≤, > vagy ≥ segítségével. A megoldás olyan értékeket ad meg, amelyeknél az állítás igaz marad. Az egyenlőtlenségek fontos eszközök a matematikában, a közelítésben, a modellezésben és az optimalizálásban.

Típusok és jellemzők. Az egyenlőtlenségek lehetnek egyváltozósak vagy többváltozósak. Egyváltozós példák: 3x − 5 < 7 vagy x^2 − 4x + 3 ≥ 0. A "szigorú" < vagy > csak bizonyos értékekre nem igaz, míg a ≤ vagy ≥ az érintett értéket is magában foglalja. Lineáris egyenlőtlenségek egyszerűek, de polinom- vagy racionális, illetve trigonometrikus egyenlőtlenségek is előfordulnak.

Megoldási megközelítések. Egyváltozós esetekben gyakran izolálják a változót, és az egyenlőtlenség jelének megfelelően érvényes intervallumokat kapnak. Ha negatívval szorozunk vagy osztunk, az irány megfordul. Faktorálás és szignálás révén meg lehet határozni a gyökök közötti intervallumokat. Többváltozós egyenlőtlenségek esetén a megoldás a fél-térképek (fél- plane) vagy intervallumok metszete, és gyakran szükség van grafikus ábrázolásra is.

Gyakorlati példák. Egyszerű példák: 3x − 5 < 7 megoldása x < 4; x^2 − 4x + 3 ≥ 0 megoldása x ≤ 1 vagy x ≥ 3. Hálajellegű összetett egyenlőtlenségek esetén a megoldás a megengedett régiók metszete.

Alkalmazások. Az egyenlőtlenségek elengedhetetlenek az optimalizálásban, gazdasági modellezésben, statisztikai elemzésekben és a mérnöki számításokban.