dilataatioon

Dilatation (dilataatio) on geometrinen muunnos, joka suurentaa tai pienentää kuvan sentraalisesti yhdellä skaalakerroin k. Dilataation keskellä, jonka sanotaan olevan dilataation keskus, jokainen piste siirtyy suhteessa keskukseen siten, että etäisyys keskuksesta saa uuden arvon kerroin k. Jos k>0 muutos on isotrooppinen: kuvaa suurennetaan tai pienennetään muuttamatta sen muotoa. Jos k<0, kuvan suunta kääntyy 180 astetta keskukseen nähden ja koko kuvan koosta tulee |k|-kertainen.

Matemaattinen kuvaus: Annetaan keskuspiste C ja skaalauskertoimen k. Piste P karttuu P' siten, että P' = C + k (P - C). Tämä voidaan kirjoittaa vektorimuodossa: P' = (1-k)C + kP. Keskus C on ainoastaan kiinnittyvä piste dilataation vaikutuksesta.

Ominaisuudet: Dilataatio säilyttää suorat janat ja kollineaarisuuden sekä kuvan koon suhteellisuuden keskukseen nähden: etäisyydet pienenevät tai suurenevat, mutta suhteelliset järjestykset säilyvät. Suhteellinen etäisyys keskuksesta olisiotetaan skaalautuu kertomalla k:llä. Kulmat säilyvät, koska dilataatio on eräs samankaltaisuus. Alueiden pinta-ala skaalautuu k^2:n mukaisesti. Kun k=1, kyseessä on identiteettimuunnos. Kun k=0, kaikki pisteet karttuvat keskukseen. Jos k<0, kuvan suuntaa hieman peilataan, ja kuva voidaan ajatella koordinoidun 180 asteen pyörittämisen ja koon kasvattamisen yhdistelmänä.

Sovellukset: Käytetään geometrisissa rakenteluissa ja salvauksissa, tietokonegrafiikassa sekä karttojen ja kuvioprojektioiden muunnoksissa. Dilataatio mahdollistaa kuvien mittakaavan hallinnan ja suhteellisten mittasuhteiden säilyttämisen keskusta hyödyntäen.