differentiaaliyhtälöä

Differentiaaliyhtälö on matemaattinen yhtälö, joka sisältää tuntemattoman funktion sekä tämän funktion derivaattoja. Ratkaisu on funktio, joka täyttää yhtälön annetulla määrittelyalueella, esimerkiksi ajan suhteen.

Yleisimmät luokat ovat tavalliset diferentiaaliyhtälöt (ODE:t), joissa tuntematon funktio riippuu yhdestä muuttujasta, ja osittaisdifferential-yhtälöt (PDE:t), joissa riippuvia funktioita on useampia muuttujia. ODE:n korkein derivaatan aste määrittää järjestyksen. Yleisesti erotellaan lineaariset ja epälineaariset sekä homogeeniset ja epähomogeeniset.

Ratkaisut voivat olla yleisiä tai tiettyjä. Usein tarvitaan lisäehtoja, kuten alku- tai reunaehdot. Esimerkiksi alkuongelma määritellään y(x0) = y0, ja reunaehdot voivat määrittää ratkaisun tietyllä alueella.

Analyyttiset menetelmät sisältävät erottelun, integroidun kerroin -menetelmän sekä lineaaristen ODE:ien karakteristisen yhtälön ratkaisemisen. Muita tekniikoita ovat muunnokset ja homogeenisten osien yhdistäminen. Kun tarkkaa ratkaisua ei ole, käytetään numeerisia menetelmiä, kuten Eulerin menetelmää ja Runge–Kutta -menetelmiä. PDE:t ratkaistaan usein erotusmenetelmin (finite difference), finite element -menetelmillä ja muilla vastaavilla lähestymistavoilla.

Esimerkkejä: y' = y antaa ratkaisun y = C e^x. Toiseksi, y'' + 3y' + 2y = 0 ratkaistaan y = C1 e^{-x} + C2 e^{-2x}. Osittaisdifferential-yhtälöihin kuuluvat lämpö- ja aaltoyhtälöt.

Differentiaaliyhtälöitä käytetään laajasti mallintamaan muutoksia ajassa ja tilassa: fysiikassa, tekniikassa, biologiassa, taloustieteessä ja monilla muilla aloilla.