differenssiyhtälöillä

Differenssiyhtälöillä, tai differenssiyhtälöinä, tarkoitetaan matemaattisia yhtälöitä, jotka kuvaavat jonkin suureen arvojen muutosta diskreeteissä pisteissä. Toisin sanoen, ne mallintavat sitä, miten jokin arvo kehittyy ajassa tai tilassa askelittain. Yksinkertaisimmillaan differenssiyhtälö yhdistää jonkin suureen arvon tietyssä pisteessä sen arvoihin edellisissä pisteissä.

Yleinen muoto differenssiyhtälölle on f(x+n) = G(x, f(x), f(x+1), ..., f(x+n-1)), missä f on tuntematon funktio, x on riippumaton muuttuja, n on positiivinen kokonaisluku ja G on jokin funktio. Kun n=1, kyseessä on ensimmäisen kertaluvun differenssiyhtälö, joka ilmaisee seuraavan arvon pelkästään edellisen arvon ja riippumattoman muuttujan funktiona. Toisen kertaluvun yhtälö sen sijaan riippuu kahdesta edellisestä arvosta.

Differenssiyhtälöillä on laaja sovelluskenttä. Niitä käytetään monien ilmiöiden mallintamisessa luonnontieteissä, kuten populaatiodynamiikassa, taloudessa, kuten korkojen laskennassa, ja fysiikassa, kuten värähtelyjen kuvauksessa. Ne ovat läheisessä yhteydessä differentiaaliyhtälöihin, jotka mallintavat jatkuvia prosesseja. Differenssiyhtälöitä voidaan usein ratkaista numeerisesti, ja niiden ratkaisut antavat diskreettejä jonoja, jotka kuvaavat mallinnettavan systeemin käyttäytymistä.