differenciálhatóságuk

A differenciálhatóság a függvények olyan tulajdonsága, amely megadja, hogy egy adott pontban van-e értelmezhető lineáris közelítés. Egy f: U ⊂ R^n → R^m függvény differenciálható a ponta-nál, ha létezik egy lineáris L: R^n → R^m, amelyhez f(a+h) = f(a) + L(h) + o(||h||) ahogy h → 0. Ezt a lineáris leképezést gyakran Df(a) vagy Jf(a) jelöli, és ez adja a függvény elsőrendű változását, azaz a deriváltat a pontban.

Egyszerűbb esetként egyváltozós függvényeknél a differenciálhatóság azt jelenti, hogy a határérték lim:f(a+h)−f(a) / h létezik. Ebben a formában a derivált f′(a) adja meg a függvény helyi lineáris közelítését.

A differenciálhatóság mindig együtt jár a folytonossággal: differenciálható függvények kontinuások. Azonban a részderiváltak létezése önmagában nem garantálja a differenciálhatóságot; például a f(x)=|x| nem differenciálható x=0‑ban, holott folytonos. A közös feltétel: ha minden részderivált létezik és a környezetben folytonos, akkor a függvény differenciálható. Ezen felül beszélhetünk osztályokról, mint a C^1 (folytonosan létező első deriváltak) vagy C^k függvények, illetve analitikus vagy sima (C^∞) függvények.

Gyakorlati jelentősége: a differenciálhatóság lehetővé teszi a függvények lokális lineáris közelítését, amely alapja a tangentfelületek, optimalizálási módszerek és a numerikus közelítések kidolgozásának. Példák: f(x)=x^2 differenciálható minden x-pontra, míg f(x)=|x| csak x≠0-nál differentiálható.