differenciálegyenlet

A differenciálegyenlet olyan matematikai egyenlet, amely a függvény és annak deriváltjai közötti összefüggést írja le. A megoldás a változók értékeit és a függvények viselkedését adja meg a feltételek figyelembevételével. Nagyobb részben az időben vagy térben változó folyamatok modellezésére használják.

Két alapvető típus létezik. Rendess differenciálegyenletben (ODE) egy változóra vonatkozó függvény deriváltjai szerepelnek, míg részleges differenciálegyenletben (PDE) több változóra vonatkozó parciális deriváltak is megjelennek. Az egyenlet rendje a legmagasabb előforduló derivált megerősítését jelöli, például első- vagy másodrendű ODE vagy PDE. Linearitás szerint is osztályozzák: lineáris és nemlineáris, illetve homogén vagy inhomogén formában írhatók.

A megoldási módszerek között szerepelnek analitikus technikák és numerikus eljárások. Analitikus megoldásokhoz gyakran alkalmazható a változók szétválasztása, az integráló tényező, a lineáris egyenlet esetén a homogén és inhomogén részek felbontása, vagy a variációk elve. Rendes differenciálegyenletek esetén a szakirodalomban gyakori a lineáris egyenletek és homogenizált példák megoldása; a PDE-knél a jellemzők módszere, szeparációs módszer vagy Fourier- és Laplace-transzformációk révén találhatók megoldások. Számítástechnikai megközelítések közé tartozik a futó-tömbös (Euler, Runge–Kutta) eljárások és a véges különbség vagy véges elemes módszerek.

Gyakorlati alkalmazásai szélesek: fizikai rendszerek (hővezetés, hullámterjedés), kémiai reakciók, biológiai növekedési modellek, gazdasági dinamika és mérnöki problémák. Például a hővezetésre a heat equation, a populációdinamikára a logistic-egyenlet alkalmazható. Ezek a modellek segítenek megérteni a változó rendszerek időbeli vagy térbeli viselkedését.