differenciálhatók

A differenciálhatók (differenciálható függvények) olyan függvények, amelyek adott pontjaiban lineáris közelítéssel viselkednek. Formális értelemben egy f: U ⊆ R^n → R^m függvény differenciálható x0 pontban, ha létezik egy (n × m) méretű lineáris L, amelyre

f(x0 + h) = f(x0) + L(h) + o(||h||) amikor h → 0.

Ilyenkor az L a diferenciál vagy Jacobiannak nevezett lineáris leképezés, és gyakran Df(x0) vagy Jf(x0) jelöli. Ha n = m = 1, ez az definíció leegyszerűsödik: f differenciálható x0-ban, ha létezik f'(x0) = lim_{h→0} (f(x0 + h) − f(x0)) / h.

A differenciálhatóság erősebb feltétel, mint a folytonosság: differenciálható függvények mindig folytonosak. Differenciálhatóság a helyi lineáris közelítés révén értelmezett; a teljes területen differenciálható függvényeket C^1-nek nevezzük, ha a derivált (Jacobian) folyamatos.

Példák: a polinomok, az exponenciális és a trigonometrikus függvények differenciálhatók bármelyik érintett hozzíves tartományon. A |x| függvény nem differenciálható x = 0. Multivális esetben például a f(x,y) = √(x^2 + y^2) differenciálhatatlan a (0,0) pontban, de minden más ponton differenciálható.

További vonatkozások: a differenciálhatóság helyszíni feltételei (partial deriváltak megléte és folytonossága) kiadják a lineáris közelítést. A differenciálhatóság alapvető a differenciálszámításban, a gráfok és felületek vizsgálatában, továbbá a gradientekre épülő módszerekben, például optimalizálásban és gépi tanulásban.