diferenciálható

Diferenciálhatóság (differenciálhatóság) a függvények olyan tulajdonsága, amely a helyi lineáris közelítés meglétét írja le. Egy f: U ⊂ R^n → R^m függvény esetén f differenciálható a-ban, ha létezik egy lineáris L: R^n → R^m úgy, hogy a

lim_{h→0} (f(a+h) − f(a) − L(h)) / ||h|| = 0.

Az L-t nevezzük df_a-nak vagy Df(a)-nak; ezt a lineáris közelítést a differenciálnak tekintjük. Ha m = 1, L(h) = f′(a) h, és f′(a) a helyi derivált.

Egyszerű esetként egyváltozós függvényeknél f differenciálható a-n, ha a határérték létezik: f′(a) = lim_{h→0} (f(a+h) − f(a)) / h. Differenciálhatóságot általában akkor értjük, ha minden ponton vagy egy nyílt halmazon belül fennáll.

Kapcsolat más fogalmakkal: minden differenciálható függvény kontinuás a-ban, de a kontinuitás nem jelzi feltétlenül a differenciálhatóságot. Például f(x) = |x| nem differenciálható a 0-ban. Egyes speciális példák a függvények általánosabb differenciálhatóságát érintik, például a Weierstrass-féle differenciálhatatlanság.

Többváltozós esetben a differenciálhatóság megegyezik a lényeges elsőrendű lineáris közelítéssel: ha f differenciálható a-n, akkor létezik df_a, amely minden h ∈ R^n-re meghatározza a lineáris közelítést. A df_a-t gyakran a Jacobian Df(a) vagy a gradient segítségével értelmezik, és df_a(h) = Df(a) h. Felfogható ún. C^k, C^∞ vagy analitikus osztályozásokkal is, attól függően, hogy a differenciálhatóságon túl mennyire sima a függvény.