Differenciálhatóságot

A differenciálhatóság a függvények azon tulajdonsága, hogy lokálisan lineárisan közelíthetők. Egyszerűbb esetben, egy f: D ⊆ R → R függvényről beszélünk: differenciálható a ponton, ha létezik f′(a) és a következő, lineáris közelítés érvényes: f(a+h) = f(a) + f′(a) h + o(h) h→0.

Többváltozós függvényeknél f: D ⊆ R^n → R^m differenciálható a pontban a, ha létezik egy lineáris leképezés L: R^n → R^m, amelyhez lim_{h→0} ||f(a+h) − f(a) − L(h)|| / ||h|| = 0. Ebben L-t gyakran Jacob-mátrixnak vagy a teljes derivált lineáris partjának nevezik.

A differenciálhatóság implicit módon biztosítja a lokális lineáris illesztést, és egyúttal jelzi, hogy f puha közelítése a tangent térhez. Differenciálhatóság következménye a folytonosság, de a folytonosságból nem mindig következik differentiálhatóság. Példák: f(x) = x^2 diff everywhere; f(x) = |x| nem diff a 0-ban. Többváltozós példaként a f(x,y) = |x| + |y| differentiálható csak ott, ahol x ≠ 0 és y ≠ 0.

A differenciálhatóság alapvető fogalom a görbék, felületek simaságának meghatározásában és a C^1, C^k és analitikus osztályokban. További mélyebb eredmények között szerepelnek a Rademacher-tétel és a Lipschitz-féle differenciálhatóság feltételei.