diagonalisert

Diagonalisert er en betegnelse som brukes om en kvadratisk matrise A som er lik en diagonal matrise D via en invertibel transformasjon, det vil si at det finnes en invertibel P slik at P^{-1}AP = D. Dette innebærer at A har et komplett sett av egenvektorer og danner en basis for rommet.

Kjernen i diagonalisering er egenverdier og egenvektorer. En matrises diagonalisering innebærer at alle kolonnevektorene i P kan velges som egnevektorer til A, og at D blir en diagonal matrise med egneverdiene λ på diagonalen. A er diagonaliserbar hvis summen av dimensjonene til eigensubrommene (geometric multiplicitet) tilsvarer matrisens størrelse n, eller enklere sagt hvis det finnes n lineært uavhengige egenvektorer.

Over feltet C (komplekst) diagionaliseres en matrise dersom den har n lineært uavhengige egenvektorer. Over R (reelle tall) gjelder det samme, men diagionalisering er mulig bare hvis alle egneverdier er reelle. Hvis noen egneverdier er komplekse, kan A være diagonaliserbar over C men ikke over R.

Spesielle tilfeller: Hvis A er symmetrisk (A^T = A), kan den alltid diagionaliseres ortogonalt, altså finnes det et ortogonalt Q slik at Q^T A Q er diag og innholdet er de reelle egenverdiene. Dette er en del av spektralteoremet. Ikke-diagonaliserbare tilfeller finnes når det ikke finnes nok egenvektorer, for eksempel en Jordanblokk større enn 1.

Bruksområder: Diagonaliserte matriser letter beregning av A^k og løsning av lineære differensiallikninger, samt analyse av systemer som Markov-kjeder og kurver i differensialligningssystemer.