derivaatiota

Derivaatio on matematiikan käsite, joka kuvaa Funktion arvojen muutoksen nopeutta tietyssä kohdassa. Olkoon f määriteltynä jossain asteen avaruudessa ja x0 sen muuttuja, niin f'(x0) määritellään raja-arvona

f'(x0) = lim_{h→0} [f(x0 + h) − f(x0)] / h,

jos raja on olemassa. Derivaatio mittaa, kuinka nopeasti f:n arvo muuttuu, ja geometrisesti se on tangentin kaltevuus käyrälle kohdassa x0. Fyysisesti derivaatio voi kuvata esimerkiksi nopeutta ajan funktiona.

Notaatio ja laajempi käyttö kattaa useita muotoja. Ensimmäinen derivaatta merkitään usein f'(x) tai dy/dx, ja käytännön kirjoituksissa Df(x). Toinen derivaatta f''(x) kertoo käyrän kaarevuudesta. Monivariableisten funktioiden derivoiminen käyttää osittaisderivaatioita ∂f/∂xi sekä gradienttia ∇f.

Säännöt ja ominaisuudet: differaatiokriteerit takaavat, että derivoituvuus tarkoittaa samanaikaisesti jatkuvuutta (differentiabiilius ⇒ jatkuvuus). Derivaattoja lasketaan lineaarisesti sekä säännöillä kuten (f + g)' = f' + g', (c f)' = c f', sekä tuote- ja ketjusäännöillä (fg)' = f'g + fg' ja (f ∘ g)'(x) = f'(g(x)) g'(x).

Esimerkkejä: f(x) = x^2 antaa f'(x) = 2x; f(x) = sin x antaa f'(x) = cos x. Monivariableissa esimerkkejä ovat ∂f/∂x ja gradientti ∇f.

Sovelluksia ovat fysiikka, taloustiede ja optimointi, joissa derivoituja käytetään muutosnopeuden, marginaalien ja optimaalisten ratkaisujen tutkimiseen. Historiaan kuuluvat Isaac Newtonin ja Gottfried Wilhelmin Leibnizin kehitystyö 1600-luvulla sekä myöhemmät kehitykset notaatioissa ja teorioissa.