concavité

La concavité est une notion de géométrie et d’analyse qui décrit la façon dont le graphe d’une fonction ou la forme d’une courbe est orienté par rapport à ses tangentes et ses cordes. On dit qu’une fonction f définie sur un intervalle I est concave si, pour tous x, y ∈ I et tout t ∈ [0,1], f(tx+(1−t)y) ≥ t f(x) + (1−t) f(y). Autrement dit, la corde reliant deux points du graphe ne dépasse pas le graphe lui-même. Le contraire s’appelle convexité.

Pour les fonctions différentiables, une condition pratique est f''(x) ≤ 0 sur I; la concavité est stricte lorsque l’inégalité est strictement < 0. On peut aussi caractériser la concavité par l’inégalité f(y) ≤ f(x) + f'(x)(y−x) pour tous x, y, ce qui signifie que le graphe est au-dessous de toute tangente en x.

Exemples: f(x) = √x sur [0, ∞) est concave; f(x) = −x^2 est concave sur tout ℝ. Les fonctions affines sont à la fois concaves et convexes; en revanche, f(x) = x^2 est convexe mais non concave sur ℝ. Dans les espaces multidimensionnels, on étend la notion à des domaines convexe et on parle de concavité d’une fonction f: Ω → ℝ.

Applications: en optimisation, maximiser une fonction concave sur un domaine convexe garantit un maximum global; en économie, les utilités et les fonctions de production sont souvent supposées concaves pour refléter des rendements décroissants.