binomituotteiden

Binomituotteet ovat kahden binomimuodon eli kahden termistä koostuvan lausekkeen kertolaskuja. Yleinen muoto on (p+q)(r+s), jossa p, q, r ja s voivat olla lukuja, muuttujia tai niiden yhdistelmiä. Kertolasku toteutetaan kertomalla jokainen termi toisen binomin termien kanssa, jolloin tuloksena on polynomi: pr + ps + qr + qs. Menetelmää kutsutaan usein FOIL-merkinnäksi (First, Outer, Inner, Last).

Esimerkkinä voidaan antaa (3x+2)(x−5). Jakamalla termit ja yhdistämällä samanlaiset termit saadaan 3x^2 −15x +2x −10, jolloin tulos on 3x^2 −13x −10. Toisena esimerkkinä (x+y)(x−y) antaa tuloksen x^2 − y^2, joka on tunnettu eron neliöiden identiteetti.

Binomituotteita käytetään laajalti algebrassa, muun muassa faktoroinnissa, polynomien laajentamisessa ja yhtälöiden ratkaisemisessa. Yleinen sekä tärkeä muutos on binomien konjugaatioiden identiteetti (a+b)(a−b) = a^2 − b^2. Lisäksi (x+y)^2 on esimerkki kahden binomin kertolaskusta, joka johtaa x^2 + 2xy + y^2.

Binomituloksia voidaan laajentaa myös binomiorella tavoin: jos n on kokonaisluku, (x+y)^n voidaan esittää summina binomikertoimien avulla. Binomikertoimet nCk muodostavat Pascalin kolmiota. Yleisemmin binomitulosten käsittelyyn kuuluu myös ei-integerExponentien binomiarvio, joka johtaa äärettömään sarjaan.

Käytännössä binomituotteet ovat perusta polynomien laajentamiseen, faktoroimiseen, sekä combinatoriseen laskentaan ja analyysiin, joissa tarvitaan tarkkoja kertolasku- ja laajennusmenetelmiä.