bifurkaatioiden

Bifurkaatiot ovat dynaamisten järjestelmien ilmiöitä, joissa järjestelmän laadullinen käyttäytyminen muuttuu, kun järjestelmän parametri μ saavuttaa tietyn kriittisen arvon. Tällöin ei ole kyse pelkästään tilojen tarkkojen arvojen muutoksesta, vaan järjestelmän rakenne voi muuttua: tasapainopisteiden määrä ja vakaus voivat vaihtua, tai järjestelmä voi siirtyä kiertymiseen tai pois siitä. Bifurkaatioiden tutkimus yhdistää tilojen paikallisen analyysin ja koko järjestelmän rakenteen tarkastelun.

Yleisimmät lokaalisiin bifurkaatioihin kuuluvat saddle-node-, transcritical-, pitchfork- ja Hopf-bifurkaatiot. Saddle-node -ilmiössä kaksi tasapainopistettä syntyy tai häviää, mikä muuttaa järjestelmän mahdollisuuksia. Transcritical -bifurkaatiossa kaksi pistettä vaihtaa vakauttaan ja paikkojaan. Pitchfork-bifurkaatiossa symmetrisessä järjestelmässä pisteet voivat jakautua uusilla ratkaisuilla, ja Hopf-bifurkaatiossa staattinen tasapainopiste menettää vakauden ja syntyy kiertävä ratkaisu, eli limit cycle.

Diskreetin ajan järjestelmissä bifurkaatiot voivat ilmetä periodin kaksinkertaistumisina ja muina karttoihin liittyvinä muutoksina, mikä voi johtaa monimutkaiseen käyttäytymiseen ja kaaoksen syntyyn. Bifurkaatioiden tutkimuksessa käytetään normaalimuotoja kuvaamaan lähialueen dynamiikkaa sekä tarkastelemaan niiden kontekstuaalista (codimension) hierarkiaa.