approksimaatioasteet

Approksimaatioasteet ovat mittareita, joilla ilmaistaan, kuinka tarkka jokin laskettu arvo on suhteessa todelliseen arvoon, kun tarkennusta säätelevä parametri pienenee. Tyypillisesti tarkastellaan virhettä E(h), ja jos virhe käyttäytyy pääpiirteissään kuten E(h) ≈ C h^p, missä C on vakio ja p > 0, puhutaan konvergenssin tai approksimaatioasteesta p. Suurempi p tarkoittaa nopeampaa virheen vähenemistä.

Approksimaatioasteita käytetään laajasti numeerisessa laskennassa, kuten integroinnissa, derivoinnissa, differentiaaliyhtälöiden ratkaisuissa ja interpolaatiossa. Esimerkkejä ovat numeeriset integraatiomenetelmät: trapezoid- menetelmän global virhe on O(h^2) eli konvergenssin aste on 2, ja Simpsonin säännöllinen virhe on O(h^4) eli aste 4. Tasoero heijastuu tarkkuuteen sekä laskentakustannuksiin.

Käytännössä approksimaatioaste voidaan määrittää mittaamalla virhe eri askeleen arvoilla ja soveltamalla log-log-menetelmää: p ≈ log(E(h1)/E(h2)) / log(h1/h2). Lisäksi Richardsonin extrapolaatio hyödyntää useamman askeleen tuloksia parantaakseen tarkkuutta ja antaa epäsuoran arvion p.

Approksimaatioasteiden ymmärtäminen auttaa valitsemaan sopivan askeleen koon ja menetelmän sekä arvioimaan lopullisen virheen ja kustannusten tasapainon.