aikadifferentiaaliyhtälöiden

Aikadifferentiaaliyhtälöt ovat differential-yhtälöitä, joissa tuntematon funktio y(t) riippuu ajasta t ja sen muutos määritellään ajan funktiona. Tyypillinen muoto on x′(t) = f(t, x(t)), t kuuluu jonkin intervaliin I, ja alkuehto x(t0) = x0 määrittää ratkaisun yksikertaisesti tietyllä alkuhetkellä. Aikadifferentiaaliyhtälöitä kutsutaan usein alun perin ODEiksi (ordinary differential equations) ja ne voivat olla ensimmäisen tai toisen asteen, lineaarisia tai epälineaarisia, sekä homogeenisia että epähomogeenisia.

Klassifiointi ja esimerkit. Ensimmäisen asteen aikadifferentiaaliyhtälöt ovat yleisimpiä ja voivat olla erilleen tai yhdistettyjä, esimerkiksi dy/dt = p(t) y + g(t) (lineaarinen ei-homogeeninen), tai separoituvia y′ = h(y) / k(t). Toisen asteen muotoja ovat yleisesti mallit kuten d^2x/dt^2 + a dx/dt + b x = g(t). Autonomiset yhtälöt riippuvat ajasta ainoastaan ratkaisun kautta toisen muuttujan kautta, kun taas ei-autonomiset riippuvat suoraan ajasta.

Ratkaisumenetelmät. Analyyttiset ratkaisut ovat mahdollisia joissain tapauksissa, esimerkiksi lineaarisissa vakikertoja sisältävissä ja erillistyksissä. Vaihtoehtoisesti käytetään numeerisia menetelmiä kuten Eulerin menetelmä tai Runge–Kuttan menetelmät, kun sulkeutuvia ratkaisuja ei ole. Ratkaisun tarkoitus on määrittää y(t) annetussa alussa tai rajatiloissa, sekä analysoida käyttäytymistä ajan mittaan.

Sovellukset. Aikadifferentiaaliyhtälöt kuvaavat monia luonnonilmiöitä ja tekniikan ilmiöitä: fysiikka, mekaniikka, biologia (populaatio- ja epidemiamallit), taloustiede ja sähkötekniikka ( RC- ja RLC-kytkennät). Yleinen käsite on, että aika on usein keskeinen riippumaton muuttuja, jonka mukaan järjestelmän tila muuttuu.