adjugált

Az adjugált mátrix, gyakran adj(A)-ként jelölik, egy négyzetes A mátrixhoz rendelt mátrix. Az adjugált a cofaktor-mátrix transzponált változata: adj(A) = Cof(A)ᵀ. Ha A = [a_{ij}] és M_{ij} az a_{ij} elemet kitevő minor, azaz az i-edik sor és j-edik oszlop eltávolításával kapott (n−1)×(n−1) al-mátrix determinánsa, akkor a cofaktor C_{ij} = (-1)^{i+j} det(M_{ij}). Ekkor adj(A)_{ij} = C_{ji}.

Jellemző tulajdonság, hogy A adj(A) = adj(A) A = det(A) I_n. Ha det(A) ≠ 0, akkor A^{-1} = (1/det(A)) adj(A). Mindez független attól, hogy det(A) nulla-e vagy sem; det(A) = 0 esetén a képlet továbbra is érvényes, mert A adj(A) = det(A) I_n = 0, azaz a termék a zérus mátrix.

Az adjugált mátrix számítása általában a cofaktorok kiszámításával történik, amely determinánsokból származik, vagy alternatív módszerként alkalmazható az invér megtalálására Gauss–Jordan-eljárás során. Az adj(A) polinomiális kifejezés a mátrix minden beírására, és hosszú távon a determináns és az inverz kapcsolathoz kapcsolódó alapvető eszközzé válik. Alkalmazások közé tartozik az inverz kiszámítása, a Cramer's szabály kerete, valamint lineáris egyenletrendszerek analitikus megoldása, amikor közvetlen inversz alkalmazás előnyösebb vagy kívánatos.