Ztransformaatioista

Z-transformaatio on signaalinkäsittelyssä ja digitaalisen analyysin perusmenetelmä, jolla diskreetti aika-signaali x[n] muunnetaan kompleksiseen X(z)-funktioon. Bilateraalinen Z-transformaatio määritellään X(z) = sum_{n=-∞}^{∞} x[n] z^{-n}. Yksipuolinen (causal) Z-transformaatio määritellään X(z) = sum_{n=0}^{∞} x[n] z^{-n}. Z muuttuja elää kompleksitasossa, ja konvergenssi määräytyy alueen ROC (region of convergence) perusteella. ROC on se joukko z-arvoja, joille sarja suppenee; sen muoto riippuu signaalin tukemisesta ja sen kasvusta. Causal signaaleille ROC:sta usein ulkokuori ulottuu äärettömyyteen.

Z-transformaatio yhdistää aikadatan ja taajuuden siten, että aikakonvoluutio muuttuu z-tilassa kertolaskuksi: Z{x[n] * h[n]} = X(z) H(z). Ominaisuuksiin kuuluu lineaarisuus sekä aikasiirto- ja aikamuutto-ominaisuudet: Z{x[n - k]} = z^{-k} X(z) ja Z{a^n x[n]} = X(z / a) ROC:n huomioiden. Lisäksi napojen (poles) ja nollien paikannukset sekä ROC määräävät signaalin käyttäytymisen z-alueella.

Esimerkkejä: Z{δ[n]} = 1; Z{a^n u[n]} = 1 / (1 - a z^{-1}), ROC |z| > |a|; Z{u[n]} = z / (z - 1), ROC |z| > 1. Inverse Z-transformi voidaan suorittaa sarjan käänteisellä laajennuksella, osittaisjakaumilla tai kontuuriviennillä, kun ROC on tiedossa.

Sovellukset kattavat digitaalisten suodatusjärjestelmien suunnittelun ja analyysin, differenssiyhtälöiden ratkaisun sekä LTI-järjestelmien vakauden ja spektrin tutkimisen.