Ytintegralerna

Ytintegralerna är integraler över en tvådimensionell yta i det tredimensionella rummet och används för att samla in mängder som fördelas över ytan. De kan beräknas för skalära fält eller vektorfält och kräver en parametrisering av ytan.

För en yta S som parametriseras av r(u,v) med (u,v) i ett område D i R^2, är ytelementet dS lika med normen av kryssprodukten ∂r/∂u × ∂r/∂v, multiplicerat med du dv. Den skalära ytintegralen av ett fält f: S → R skrivs som ∬_S f dS = ∬_D f(r(u,v)) ||∂r/∂u × ∂r/∂v|| du dv. Om f ≡ 1 erhålls ytan S:s area.

Den vektor- eller flödesytintegralen av ett fält F: R^3 → R^3 ges av ∬_S F · n dS, där n är ytnormalen. I parametriserad form blir det ∬_D F(r(u,v)) · (∂r/∂u × ∂r/∂v) du dv, med orienteringen given av riktningen på ∂r/∂u × ∂r/∂v.

Om S ges som z = g(x,y) över D, är dS = sqrt(1 + (∂g/∂x)^2 + (∂g/∂y)^2) dx dy, och skalärytintegralen blir ∬_D f(x,y,g(x,y)) sqrt(... ) dx dy.

Ytintegralerna länkar till viktiga sats som Stokes sats och Gauss/divergenssatsen, och har tillämpningar inom fysik, teknik, datagrafik och differentialgeometri.