Ylärajasta

Ylärajasta tarkoittaa reaalijoukon ylärajaa. Olkoot A joukko reaalilukuja. M on yläraja A, jos jokaiselle x ∈ A pätee x ≤ M. Jos A on tyhjä joukko, jokainen luku on yläraja, koska ehdoista ei seuraa mitään rajoituksia.

Ylärajojen joukkoa kutsutaan usein ylärajojen joukko B(A) tai yksinkertaisesti kaikkien ylärajojen joukoksi. Jos A ei ole tyhjä ja yläraja on olemassa, voidaan puhua pienimmästä ylärajasta eli supremaatista: sup A, joka on kaikkien ylärajojen pienin arvo. Supremum on suurin, mutta ei välttämättä kuulu joukkoon A. Yleensä supremaattia kutsutaan myös pienimmäksi ylärajaksi.

Reaalijoukon tapauksessa täydellisyysominaisuuden vuoksi jokainen ei-tyhjä joukko, joka on ylärajaan rajattu, saa supremaarin. Jos supremaari kuuluu joukkoon A, sanotaan, että joukolla on maksimi. Esimerkkejä: A = {1, 2, 3} on ylärajattu ja sup A = 3, ja maksimi on 3. A = (0,1) on ylärajattu, sup A = 1, mutta maksimia ei ole. Jos taas A ei ole yläraja, sille ei voi määrittää supremaaria reaalialueella.

Ylärajojen käsite laajenee muihin järjestettyihin joukkoihin kuin reaalilukuihin ja tarjoaa työkalun rajauksille, konvergenssille ja muun analyysin perustalle.

---