Waveyhtälö

Waveyhtälö on osittaisdifferentiaalilauseke, joka kuvaa aaltojen etenemistä ajassa ja tilassa. Yleisessä lineaarisessa homogeenisessä muodossa scalar-kenttä u(t,x) täyttää ∂^2u/∂t^2 = c^2 Δu, jossa Δ on Laplacen operaattori ja c on aaltojen etenemisnopeus. Yhden ulottuvuuden tapauksessa tämä yksinkertaistuu ∂^2u/∂t^2 = c^2 ∂^2u/∂x^2.

Ratkaisut voivat olla eri muodoissa riippuen ulottuvuudesta. 1D-tilanteessa D’Alembertin ratkaisu antaa u(x,t) = F(x − ct) + G(x + ct), missä F ja G määräytyvät alkuarvojen mukaan. Ratkaisut voivat olla superepositsioita lentävistä aaltoista, ja ne säilyttävät yleensä energian, jos media on vailla tappioita. Alkuarvoina annetaan u(x,0) ja ∂u/∂t(x,0); reunaehdoilla määritellään kentän käyttäytyminen alueen reunoilla.

Monissa ulottuvuuksissa ja malleissa käytetään yleistä muotoa ∂^2u/∂t^2 = c^2 Δu. Tämä kuvaa esimerkiksi ääni- ja jousiaktojen sekä sähkömagneettisten aaltojen etenemistä. Maxwellin yhtälöt johtavat tyhjiössä E- ja B-kentille vastaaviin wave-yhtälöihin, joissa c on valon nopeus.

Ominaisuudet: lineaarinen ja homogeeninen malli on yleinen, mutta inhomogeenisia (lähde termillä s(t,x)) sekä ei-lineaarisia wave-yhtälöitä käytetään, kun ilmenee pakokaasujen, väreiden, tai pallonmuotoisten aaltojen vuorovaikutuksia sekä sokkiaaltoja. Numerisessa laskennassa käytetään muun muassa finite difference- ja spektriomenetelmiä sekä rajapintoja erilaisten rajatulojen kanssa.

Historia ja sovellukset: yleistynyt 1700-luvulla d’Alembertin ja muiden tutkijoiden työstä. Waveyhtälöt ovat keskeisiä akustiikassa, optiikassa, seismologiassa sekä sähkömagneettisessa teoriassa.