Vektorvektort

Vektorvektort er et matematisk begrep som refererer til det ytre, eller dyadiske, produktet av to vektorer. Dette produktet gir en rang-2 tensor som kan brukes til å beskrive lineær vekst langs retninger bestemt av vektorene.

Gitt vektorene a i R^m og b i R^n, er vektorvektortet A = a ⊗ b et m×n-matrise med elementer A_{ij} = a_i b_j. Dette representerer en lineær operator som kartlegger en inputvektor x ∈ R^n til A x = a (b^T x). Dermed kombinerer det innflytningen av begge vektorene i en enkel, strukturert transformasjon.

Egenskaper: Vektorvektort har rang 1 (så lenge både a og b er ikke-null). Det er bilineært i vektorene. Det er generelt ikke symmetrisk; A^T = b ⊗ a, og A er symmetrisk bare hvis a og b er proporsjonale (for eksempel hvis a = c b).

Eksempel: la a = (1, 2, 3)^T og b = (4, 5)^T. Da blir A = [[4, 5], [8, 10], [12, 15]].

Bruksområder: vektorvektorer brukes i dyadiske representasjoner av tensorfelt i fysikk og ingeniørfag, til å bygge lav-rang representasjoner av matriser, og i maskinlæring for rank-1 oppdateringer og lav-rangs tilnærminger av data.

Se også: ytre produkt, dyadisk produkt, tensor, rank-1 tensor.