Vektorstorhet

Vektorstorhet, eller lengden til en vektor, beskriver hvor langt vektoren strekker seg fra origo i et euklidisk rom. Den er en ikke-negativ skalar og er avhengig av størrelsen, ikke retningen. To vektorer kan ha samme størrelse men ulike retninger.

For en vektor v = (x1, x2, ..., xn) er vektorstørrelsen definert som ||v|| = sqrt(x1^2 + x2^2 + ... + xn^2). I to dimensjoner blir det ||v|| = sqrt(x^2 + y^2); i tre dimensjoner ||v|| = sqrt(x^2 + y^2 + z^2).

Vektorstørrelsen har viktige egenskaper: den er alltid ikke-negativ, og ||v|| = 0 bare for v = 0. Den følger trekantlikningen ||u+v|| ≤ ||u|| + ||v|| og homogene egenskaper ||c v|| = |c| ||v||. Den bevares under rotasjoner (eller generelt under ortogonale transformasjoner), da ||Rv|| = ||v|| for ortogonale R. Den er også relatert til indreproduktet ved ||v||^2 = v · v.

Bruksområder inkluderer normalisering til en enhetsvektor u = v / ||v|| (for v ≠ 0), beregning av avstander og lengde i fysikk og datagrafikk, og i dataanalyse som et mål på størrelse. Vektorstørrelsen skiller seg fra andre typer normer som p-normer, men er den vanligste målingen i det klassiske vektorfaget.