Vektorene

Vektorer er matematiske objekter som har både størrelse og retning. I geometrien fremstilles de ofte som piler i rommet, mens de i algebra kan representeres som kolonnevektorer i R^n. Vektorer adderes ved parallelogramregelen og kan skaleres ved multiplikasjon med et tall. Nullvektoren har størrelse 0 og retning er ikke definert.

Lengden eller magnituden til en vektor a i R^n er |a| = sqrt(a1^2 + a2^2 + ... + an^2). Retningen beskrives av en enhetsvektor a/|a|. To vektorer er kollineære hvis en er et skalar multipel av den andre.

Skalarproduktet a·b = a1 b1 + a2 b2 + ... + an bn gir et mål på samsvar mellom vektorene; det brukes blant annet til å beregne lengden av projeksjonen og vinkelen mellom dem. Kryssproduktet a × b, som finnes i R^3, gir en vektor som er ortogonal til både a og b, med størrelse |a × b| = |a||b| sin θ.

Et vektorrom består av en mengde vektorer som er lukket under addisjon og skalar multiplikasjon og oppfyller visse aksiomer. En basis er en mengde vektorer som er lineært uavhengige og som spaner hele rommet; dimensjonen er antallet basisvektorer.

Vektorer brukes til å beskrive posisjon og bevegelse, krefter og arbeid i fysikk, i grafikk og robotikk, i dataanalyse og maskinlæring, og som representasjoner av data i høyere dimensjoner. Kjernen i lineær algebra er studiet av vektorers operasjoner og egenskaper.