Vektberegninger

Vektberegninger er beregninger som involverer vektorer i geometri, fysikk og ingeniørfag. En vektor har både størrelse og retning og kan representeres ved koordinater i et valgt koordinatsystem. Vektorer brukes til å beskrive fart, krefter, posisjon og andre størrelser som varierer i rommet.

De grunnleggende operasjonene er vektoraddisjon, vektorsubtraksjon og skalar multiplikasjon. Ved addisjon følger vektorene parallelogram- eller trekantregelen, og man får en ny vektor. Skalarmultiplikasjon multipliserer man hver komponent med et tall. Lengden eller normen til en vektor u er ||u|| = sqrt(u1^2 + u2^2 + ...). Enhetsvektoren u/||u|| har lengde 1.

Indreproduktet eller dot-produktet for vektorene a og b er a · b = a1b1 + a2b2 + ... . Det er kommuttativt, distributivt og gir forholdet mellom lengder og vinkel: a · b = ||a|| ||b|| cos θ. Prosessen gir også projeksjonen av a på b: proj_b(a) = (a · b)/(b · b) b. Kryssproduktet a × b i tre dimensjoner gir en vektor som er ortogonal til både a og b, med størrelse ||a × b|| = ||a|| ||b|| sin θ og retningen bestemt av høyrehåndsregelen.

Normer beskriver størrelsen på vektorer. Den vanligste er den Euclidiske normen: ||u|| = sqrt(u1^2 + u2^2 + ...). Andre normer, som L1 og L∞, brukes i ulike sammenhenger. Parallellogrammetegenskaper fører til triangular likningen: ||a + b|| ≤ ||a|| + ||b||. Vektorer kan representeres i ulike koordinatsystem, og i et vektorrom er de ofte uttrykt i en basis.

Anvendelser omfatter fysikk, datagrafikk, ingeniørfag, navigasjon og maskinlæring. For å beregne er det vanlig å bruke komponenter, relevante formler og enhetlig enhetstegn. Vektberegninger danner grunnlaget for mye av lineær algebra og vektorregning.