Varyanslar

Varyanslar, dağılımın ne kadar yaygın olduğunu ve değerlerin ortalamadan ne kadar uzağa dağıldığını ölçen dispersion (dağılım) ölçüleridir. Bir rassal değişken X için varyans Var(X) = E[(X − μ)²] olarak tanımlanır; burada μ = E[X] ortalamadır ve varyans, standart sapmanın karesi olarak da adlandırılır. Varyanslar, bir bütün olarak popülasyon dağılımının ya da bir örnek dağılımının yayılımını nicelendirir.

Popülasyon varyansı, X’in olasılık yapısına bağlı olarak hesaplanır. Ayrık durumda Var(X) = Σ p_i (x_i − μ)², sürekli durumda Var(X) = ∫ (x − μ)² f(x) dx olur; burada μ = E[X] ve f(x) olasılık yoğunluğudur. Bu kavram temel istatistiksel analizlerin temelini oluşturur.

Örnek varyansı, gerçek popülasyon varyansını verilerden tahmin etmek için kullanılır. Bir örnek X₁,..., X_n için örnek ortalaması x̄ = (1/n) Σ X_i ve s² = (1/(n−1)) Σ (X_i − x̄)² şeklinde tanımlanır; s², popülasyon varyansının tarafsız (unbiased) bir tahminidir.

Önemli özellikler arasında varyansın her zaman sıfır veya pozitif olması, Var(aX + b) = a² Var(X) ve Var(X + Y) = Var(X) + Var(Y) + 2 Cov(X,Y) formunda ifade edilebilmesi bulunur. Bağımsız değişkenler için Cov(X,Y) = 0 olduğundan Var(X+Y) = Var(X) + Var(Y). Varyansın karekökü olan standart sapma, dağılımın bir ölçüsüdür ve pek çok istatistiksel yöntemde temel rol oynar. Varyanslar, homoscedasticity gibi varsayımlar ve güven aralıkları ile t-testi, ANOVA ve regresyon analizlerinde kritik öneme sahiptir; ayrıca uç değerlere karşı duyarlıdır.