Unitaariryhmiä

Unitaariryhmiä ovat ryhmiä, jotka ovat isomorfisia jonkin rajallisen joukon yllä määritellyn unitaarisen ryhmän kanssa. Unitaarinen ryhmä, jota merkitään U(n), koostuu kaikista n x n kompleksisista matriiseista, joiden matriisi-inversio on niiden kompleksikonjugaatin transpoosin yhtä suuri. Tämä ehto on yhtäpitävä sen kanssa, että matriisi säilyttää sisäisen tulon ja siten vektorien pituudet ja niiden väliset kulmat. Unitaariset ryhmät ovat keskeisiä matemaattisessa fysiikassa, erityisesti kvanttimekaniikassa, jossa ne edustavat symmetrioita ja muunnoksia, jotka säilyttävät todennäköisyyden. U(1) ryhmä, joka koostuu 1x1 unitaarisista matriiseista, on yksinkertaisesti kompleksilukujen joukko, joiden itseisarvo on 1. Tämä ryhmä on isomorfinen ympyrän kehän kanssa. U(2) ryhmä on tärkeä spin-1/2 hiukkasten, kuten elektronien, kuvaamisessa. Sitä käytetään myös Paulin matriisien yhteydessä. Yleisemmin n-ulotteiset unitaariset ryhmät U(n) ovat Lie-ryhmiä, joilla on rikas matemaattinen rakenne.