Uniformointi

Uniformointi on käsite Riemannin pintojen ja kompleksianalyysin alueelta. Sen keskeinen kysymys on, voidaanko jokainen yksinkertaisesti yhteinen Riemannin pinta esittää konformisti yhden standardimallin kautta, eli saadaananko pinta kuvattua samankaltaisesti kuin tunnetut perusmallit.

Uniformointiteoreeman mukaan jokainen yksinkertaisesti yhteinen Riemannin pinta on biholomorfisesti yhtenevä jollakin kolmesta mallista: Riemannin pallo (eli Riemannin pallo), kompleksitaso, tai yksikködiski. Näiden mallien avulla pinta voidaan ymmärtää ja tutkia konformisti. Kun pinta ei ole yksinkertaisesti yhteinen, sen universaalikuva on näistä malleista, ja pinta voidaan kirjoittaa muodossa S ≅ X/Γ, jossa X on jokin kolmesta mallista ja Γ on vapaa ja kunnolla jakautuva ryhmä holomorfisia automorfismeja.

Käytännön seurauksena uniformisaatio antaa tavan luokitella ja rakentaa Riemannin pintoja. Esimerkiksi genus 0:n pinnat ovat elliptisiä, genus 1:n pinnat ovat torneja (toruksia), ja genus ≥ 2:n pinnat ovat hyperbolisia: niiden universaalikansikuva on yksikködiski. Tämä johtaa hyperbolisen geometriaan ja moduli- sekä Teichmüller-teoriaan.

Historia: Uniformisaatioteoreeman todistivat pääasiassa 1920–1930-luvuilla Poincaré ja Koebe, ja myöhemmin sen todistamiseen sekä laajentamiseen tekivät merkittäviä töitä Ahlfors ja Bers sekä muut, jotka yhdistivät teorian geometrian ja analyysin. Teoreema on keskeinen osa modernia kompleksianalyysiä, hyperbolista geometriata ja moduli-kontrolloitua geometrista rakenteita.