Triviaaliryhmän

Triviaaliryhmä on matemaattinen käsite ryhmäteoriassa. Se on ryhmä, jossa on vain yksi alkio, joka on myös ryhmän neutraalialkio. Tätä alkiota merkitään usein symbolilla 'e' tai '1'.

Triviaaliryhmän operaatio on määritelty niin, että minkä tahansa alkion kanssa suoritettuna operaatio palauttaa saman alkion. Koska ainoa alkio on neutraalialkio, tämä tarkoittaa käytännössä sitä, että alkion itsensä kanssa suoritettu operaatio tuottaa saman alkion. Tämä täyttää ryhmän aksioomat: sulkeutuneisuus, assosiatiivisuus, neutraalialkion olemassaolo ja käänteisalkion olemassaolo. Triviaaliryhmän ainoa alkio toimii itsessään käänteisalkiona.

Triviaaliryhmä on tärkeä perusesimerkki ryhmäteoriassa ja sitä käytetään usein todistusten tukena tai erikoistapauksena. Se on pienin mahdollinen ryhmä, ja kaikki muut ryhmät ovat jollain tapaa monimutkaisempia. Triviaaliryhmä on isomorfinen minkä tahansa muun yhden alkion ryhmän kanssa. Se on myös aliryhmä kaikille muille ryhmille. Esimerkiksi symmetrinen ryhmä S_n sisältää aina triviaaliryhmän aliryhmänään.