Transformatsioonid

Transformatsioonid on funktsioonid, mis teisendavad elemendid ühest hulgast teise. Matemaatikas kasutatakse neid laialdaselt ruumide, geomeetriliste objektide ja vektorruumide muutuste kirjeldamiseks ning nende omaduste ja suhete uurimiseks.

Geomeetrilised transformatsioonid hõlmavad rotatsiooni (pööramist), translatsiooni (liikumist), peegeldust ja skaleerimist. Isomeetrilised transformatsioonid säilitavad kaugused ja nurgad. Afiin transformatsioonid säilitavad paralleelsuse ning neid kirjeldatakse tavaliselt kui T(x) = A x + b, kus A on lineaarosa ja b translatsioon. Lineaartransformatsioon on funktsioon, mis rahuldab T(u+v) = T(u) + T(v) ja T(a u) = a T(u); neid esindatakse maatriksidega. Kui transformatsioon on pööratav, moodustab see vastava lineaarsete transformatsioonide kogumi GL(n).

Alghuvilised omadused: transformatsioonide kompositsioon (järjestuste ühendamine) annab uue transformatsiooni; identiteettransformatsioon on jääv ning pööratavate transformatsioonide kogum moodustab grupi, näiteks lineaarsete transformatsioonide puhul GL(n) või isomeetriliste transformatsioonide puhul isometry grupp.

Rakendused hõlmavad arvutigraafikat, geomeetriliste kujundite ümberkujundamist ja ruumiliste andmete muutmist. Muutuste koordinaatide alusel kehtivad reeglid, näiteks integraalide muutusvalem, mille aluseks on Jacobian- determinant. Transformatsioonide kontseptsioon on keskne nii teoreetilises kui rakenduslike matemaatikas.