Szabályozhatóság

Szabályozhatóság (controllability) egy lineáris idő-invariáns rendszer (LTI) x' = Ax + Bu esetén azt a tulajdonságot jelenti, hogy a kezdeti állapotból a bemenetek segítségével a rendszer állapota bármely kívánt végállapotba eljuttatható-e adott időtartamon belül. Másképp: legyen n a állapotdimenziója; akkor a (A,B) pár szabályozható, ha egy adott T>0-ra a végpontokat el lehet érni a nullától induló vagy tetszőleges kiinduló állapotból.

A legfontosabb matematikai feltétel a következő: a kontrollabilitási mátrix Co = [B AB A^2B ... A^{n-1}B] rangja legyen n. Ekkor a rendszer teljes mértékben szabályozható. Hasonlóan, diszkrét idejű esetben x_{k+1} = Ax_k + Bu_k van, és ugyanez a rangfeltétel érvényes.

Alternatív szemlélet a kontrollabilitási grádiens: folyamatos időben Wc = ∫_0^T e^{At} B B^T e^{A^T t} dt (T>0). Ha Wc pozitív definite minden T-értékre vagy legalább egy T-re, akkor a rendszer szabályozható ezen időtávon. Diszkrét időben Wc = ∑_{i=0}^{T-1} A^i B B^T (A^T)^i.

Gyakorlati jelentősége: szabályozhatóság lehetővé teszi állapot-visszacsatolással történő vezérlést és a helyezési feladatokat (például u = -Kx, eigenértékek megváltoztatása), miközben a rendszer változóit egy adott határok között tarthatjuk. A szabályozhatóság azonban nem feltétlenül garantálja a stabilitást vagy a bemeneti korlátozásokat; ezek más tulajdonságok vizsgálatát igénylik. Egy rendszer leírása és tervezése során a szabályozhatóság kulcsfontosságú szempont a dinamikai kontroll lehetőségeinek meghatározásában.