Supistuvuutta

Supistuvuutta on matemaattinen käsite, joka kuvaa ominaisuutta, jossa jokin kartta tai operatori pienentää kohteiden välisiä etäisyyksiä. Tyypillisesti puhutaan funktiosta f: X → X metrisessä tilassa (X, d), ja siitä, että on olemassa konstan k, 0 ≤ k < 1, siten että d(f(x), f(y)) ≤ k d(x, y) kaikille x, y ∈ X. Tällainen kartta kutsutaan supistuvaksi kartaksi.

Esimerkki: f(x) = x/2 reaalilukujen tilassa (X = R, d(x, y) = |x − y|) toteuttaa d(f(x), f(y)) = (1/2) |x − y|, joten f on supistuva kartta konstanilla k = 1/2.

Supistuvuus on keskeinen käsite analyyttisessa ja numeerisessa kontekstissa, koska se takaa vakauden ja konvergenssin. Yleinen tulos on Banachin kiinteän pisteen teoreema: jos X on täydellinen metriikkatila ja f: X → X on supistuva, niin f:llä on ainutlaatuinen kiinteä piste x*, eli f(x*) = x*, ja jokainen iteraatiosarja x_{n+1} = f(x_n) alkaa mistä tahansa x_0 ∈ X konvergoituu kohti x*. Lisäksi konvergenssi on geometrista ja nopeutta voidaan arvioida sen mukaan, miten pieni on k.

Yleistyksinä supistuvuus liittyy Lipschitz-kasvuun (k < 1) ja on eräissä yhteyksissä erottamista varten käytetty käsite. Sillä on sovelluksia sekä puhdasmatematiikassa että sovellettuissa ongelmissa, kuten differentiaali- ja integrointiprosessien lähestymisessä sekä numeerisessa ratkaisussa.