Soluryhmäkoko

Soluryhmäkoko on termi, jota käytetään solvable groupiin (soluryhmä) liittyvässä kontekstissa kuvaamaan ryhmän järjestystä. Kun ryhmä G on finite, sen järjestys |G| on alkioiden lukumäärä. Soluryhmäkoko tarkoittaa siis ryhmän järjestystä, jos kyseessä on finiittinen ryhmä.

Soluryhmä G on solvable, jos sillä on normaalijono G = G0 ▹ G1 ▹ … ▹ Gn = {e}, jossa jokainen tekijä G_{i-1}/G_i on abelilainen. Tämä määritelmä on keskeinen: solvability tarkoittaa sitä, että ryhmän rakenne voidaan purkaa abelisiin osiin kertautuvan aliryhmärakenteen avulla.

Jos G on finiittinen ja solvable, niin jokainen sen aliryhmä H ≤ G sekä jokainen normalisoitu tekijäryhmä G/N (N ◁ G) on myös solvable. Näin solvable-ominaisuus sulkeutuu aliryhmien ja tekijäryhmien yli, joten ryhmän koon käsitteellä on hyvä käytännön arvo tutkittaessa rakenteellisia ominaisuuksia.

Ominaisuutta voidaan tarkastella myös koon kautta. Koska on olemassa finiittinen sykli-ryhmä C_n, joka on solvable, soluryhmäkoko voi olla mikä tahansa positiivinen kokonaisluku. Erityisesti Burnside’n teoreeman mukaan jos |G| = p^a q^b kahdesta primistä, ryhmä on solvable. Esimerkkejä solvableista ryhmistä ovat Z_n, dihedraalinen ryhmä D_{2n}, S3 ja A4; A5 ei ole solvable, vaikka sen tilavuus on 60.