Sigmaalgebran

En sigmaalgebran (σ-algebra) på en mängd X är en samling F av delmängder av X som uppfyller tre villkor: ∅ och X tillhör F; är sluten under komplementering (om A finns i F så finns också A^c i F); och är sluten under uppräknelige unioner (om A1, A2, … finns i F så finns också ∪i Ai i F). Eftersom F är stängt under komplement och unioner följer att den även är stängd under snitt av alla antal delmängder i F. En sigmaalgebran används som domän för mått och sannolikheter.

Man säger att F är den minsta sigmaalgebran som innehåller en given familj A av delmängder, och man skriver F = σ(A). Exempel är P(X), den fullständiga potensmängden på X, som alltid är en sigmaalgebran; den triviala sigmaalgebran {∅, X}; och Borel-sigmaalgebran på ℝ, som genereras av de öppna mängderna.

I tillämpningar används sigmaalgebran för att definiera mått och sannolikheter. Ett mått μ tilldelar varje mängd i en sigmaalge ett icke-negativt tal, och ett sannolikhetsmått är ett mått med μ(X) = 1. Ett sannolikhetsrum består därför av ett par eller triplett (Ω, F, P) där F är en sigmaalgebran på Ω och P är ett sannolikhetsmått definierat på F. Sigmaalgebran gör det möjligt att formulera händelser, fördelningar och integration inom måtteori och sannolikhet.