Riemannsummien

Riemannsummit ovat määrällisiä summia, joiden avulla määritelty integraali voidaan likimääräisesti arvioida. Ne syntyvät jakamalla suljetun välin [a, b] osaväleihin ja tarkastelemalla funktion arvoja näillä osaväleillä.

Valitaan jokaiselle osavälille pisteet ξ_i, jonka kuuluu olla välin [x_{i-1}, x_i] sisäpuolella. Riemannsummaksi kutsutaan S(P, ξ) = ∑_{i=1}^n f(ξ_i) (x_i − x_{i-1}). Välin pienentämistä kuvaa mesh μ(P) = max_i (x_i − x_{i-1}). Kun μ(P) pienenee, summien arvo lähestyy tiettyä raja-arvoa.

Jos raja μ(P) → 0 existoi ja on riippumaton valitusta ξ, f on Riemann-integroitava ja raja määrittelee ∫_a^b f(x) dx. Mikäli f on jatkuva [a, b], se on aina Riemann-integroitava. Epäjatkuvilla funktioilla voidaan käyttää ylä- ja ala-summia: ylä-summa U(P) = ∑ M_i (x_i − x_{i-1}) ja ala-summa L(P) = ∑ m_i (x_i − x_{i-1}), missä M_i ja m_i ovat kunkin osavälin ylä- ja ala-arvot. Funktio on integroitava täsmällisesti silloin, kun infimumi ylä-summista ja supremum ala-summista ovat yhtä suuri.

Erityistapauksissa left- ja right- Riemann-summat sekä midpoint-summat käytetään yksinkertaisina laskumenetelminä laskenta- ja numeerisissa yhteyksissä. Riemannsummien käsite muodostaa fundamentin määritellyn integraalin käsitteelle ja liittyy yleisesti alueen pinta-alan ja kokonaismäärien laskemiseen.

Historiallisesti käsite on Bernhard Riemannin kehittämä 1800-luvulla, ja se toimii perustana sekä analyyttiselle että numeeriselle integraatiolle sekä suhteille muihin integraatiomenetelmiin.