Riemannintegrál

A Riemann-integrál a határozott integrál egyik alapvető meghatározása, amelyet Bernhard Riemann dolgozott ki a 19. században. Egy zárt [a,b] intervallumon és egy korlátos függvény f: [a,b] → R esetén definiáljuk. Vegyük egy partíció P = {a = x0 < x1 < … < xn = b} és minden i-re válasszunk t_i ∈ [x_{i−1}, x_i]. A Riemann-szummal R(f,P,t) = Σ_{i=1}^n f(t_i) (x_i − x_{i−1}) kapjuk. Ha ||P|| = max_i (x_i − x_{i−1}) → 0, és a határérték független a választott P-től és t-től, akkor f Riemann-integrálható, és az integrál értéke ∫_a^b f(x) dx = lim R(f,P,t).

Egy alternatív megközelítés a Darboux-összegek. Alsó összeg L(f,P) = Σ m_i (x_i − x_{i−1}) és felső összeg U(f,P) = Σ M_i (x_i − x_{i−1}), ahol m_i = inf_{[x_{i−1},x_i]} f és M_i = sup_{[x_{i−1},x_i]} f. Ha lim_{||P||→0} L(f,P) = lim_{||P||→0} U(f,P) = I, akkor f integrálható és ∫_a^b f(x) dx = I.

Fontos tulajdonságok: a folytonos f a [a,b] intervallumon integrálható; a diszkontinuitások halmaza mérték-nullára korlátozása elegendő (Lebesgue-kritérium). Nem integrálható példát mutat például a Dirichlet-függvény: f(x) = 1, ha x rational, és 0, ha irracionális, mert a minimálisan diszkontinuitásokkal szemben sem konvergál a részösszegek határértéke. A fenti definíciók szoros kapcsolatban állnak az antiderivált és a terület fogalmával is.