Projektiogeometriassa

Projektiogeometria on geometrian haara, joka tutkii ominaisuuksia ja suhteita, jotka säilyvät projektioiden alaisuudessa. Projektio kuvaa tiloja toisiinsa siten, että pisteet ja viivat voivat muuttua, mutta tietyt rakenteet, kuten incidenssi ja joidenkin mittasuhteiden käyttäytyminen, pysyvät vakaana. Keskeisiä käsitteitä ovat incidenssi (onko piste viivan päällä) sekä projektioihin liittyvät invarianssit, kuten ristiarvo. Ristiarvo määritellään neljälle collineaariselle pisteelle ja on projektioiden alaisuudessa pysyvä luku.

Perusmalli on projektitila P^n(F), jossa F on kenttä. Pisteet ovat ei-nollia vektoreita x ∈ F^{n+1} upotettuna sivuttain [x0:...:xn], missä koordinaatit ovat määritelty myös skaalauksella. Viivat ja muut algebralliset rakenteet saadaan kulkemalla vastaavasti lineaarien alijoukkojen kautta. Projektimuunnokset ovat matriisien A ∈ GL(n+1,F) vaikutusta: [x] -> [Ax], ja ne muodostavat ryhmän PGL(n+1,F) = GL(n+1,F)/F^*.

Tärkeisiin tuloksiin kuuluvat Desarguesin ja Pappus'n teoreemat sekä Pascalin ja Brianchonin kaltaiset monimutkaisemmat kuviot, jotka kuvaavat projektivien suhteiden yleisyyttä. Desarguesin teoreema on erityisen keskeinen planeemaisessa projektivi geometrissa, ja sen todistaminen liittyy suunnitteluun koordinaatein. Pappus taas yhdistää projektiviikkaa koordinaattijärjestelmien ominaisuuksiin.

Suhde Euclidiseen geometriaan on läheinen: valitsemalla erillisen line at infinity saadaan tavallinen plane, ja projektioita käytetään muun muassa perspektiivin mallinnuksessa, tietokonegrafiikassa ja computer visionissa. Historiallisesti projektio-geometria sai alkunsa 1600-luvulla Desarguesin ja Pascalin työstä, kehittyen 1800-luvulla Cayleyn, Kleinin ja Erlangen-ohjelman myötä koordinaatistojen ja transformaatioryhmien näkökulmasta.