Profilfüggvények

Profilfüggvények olyan függvények, amelyeket a modellben a nem kívánt paraméterek (nuisance paraméterek) szeparálására használnak úgy, hogy minden értékre a vizsgált paraméterek felett maximumot veszünk. A statisztikai összefüggésben a profilfüggvény gyakran a profil-likelihood függvény, amely a valószínűségi függvényt úgy alakítja át, hogy a nuisance paraméterek optimalizált értékeit az adott értékhez igazítjuk.

Definíció: Legyen L(θ, η; x) a valószínűségi függvény, ahol θ a vizsgált paraméter, η a nuisance paraméterek, és x a megfigyelések. A profil-likelihood a θ-re vonatkozó L_p(θ; x) = L(θ, η̂(θ); x), ahol η̂(θ) = argmax_η L(θ, η; x). Naplóváltozata ℓ_p(θ) = log L_p(θ; x). A profilfüggvény tehát a L vagy ℓ alapvető változata, amelyben a nuisance paraméterek a θ-től függően kerülnek meghatározásra.

Jellemzők: A profilfüggvény csökkenti a dimenziót azáltal, hogy a nuisance paraméterek maximalizálásával implicit módon ki vannak zárva a további kiválasztásokból. A profil-likelihood használható konfidencia-intervallumok és LR-teszt alapján: ha θ0 a nullérték, akkor a -2 log Λ_p = -2 [ℓ_p(θ0) − ℓ_p(θ̂)] χ^2-eloszlású lehet a megfelelő szabadságfokkal, Reguralitási feltételek esetén.

Számítás: gyakorlatban minden θ-értékre ki kell számolni η̂(θ)-t, majd ennek megfelelően meghatározni L_p(θ; x). Gyakran iteratív, kettős optimalizációt igénylő folyamat.

Példák: például kétparaméteres modellben a μ-ra profil-likelihoodot úgy kapjuk, hogy a szórást/MSE-t a μ-tól függően a legnagyobbra állítjuk. Profilfüggvények széles körben használatosak biostatisztikában, közgazdaságtudományban és más területeken, ahol nuisance paraméterek miatt nehéz közvetlen inference-t végezni.