Podmnoinový

Podmnoinový je pojem z matematiky, který se používá pro popis struktur souvisejících s podmnožinami množin. Odvozuje se od slova podmnožina a vyjadřuje určitý druh uzavřenosti vůči podmnožinám.

V užším slova smyslu se pojem podmnoinový vztah pojí s rodinou F množin nad danou množinou X, tedy s podmnožinovým systémem F ⊆ P(X). Rodina F se nazývá podmnoinová (downward closed) tehdy, že pro každou A v F platí: pokud B je podmnožinou A, pak B také patří do F. Tím F vytváří ideál v částečném uspořádání (P(X), ⊆). Vždy tedy obsahuje prázdnou množinu ∅.

Příklady: Nejpraktičtější příklad představuje celá mocnina P(X); ta je downward closed, protože každá podmnožina libovolné množiny patří do P(X). Dalším příkladem je rodina všech konečných podmnožin množiny X. Naopak rodina všech nenulových podmnožin X není vždy downward closed, pokud neobsahuje ∅.

V teoretickém kontextu se podmnoinové systémy často spojují s pojmy jako dědičnost a ideály. V informatice a kombinatorice se využívají pro popis vlastností uzavřených pod podmnožinami, například při klasifikaci heredických (downward-closed) vlastností grafů nebo struktur.

Související pojmy zahrnují down-set (společný termín pro obdobné uspořádání v češtině), ideal v teorii množin a dědičné vlastnosti v kombinatorice.