Osatoiminto

Osatoiminto on matemaattinen ja tietotekniikan käsite, joka kuvaa toimintoa, jota ei ole määritelty kaikille syötteille. Sen määrittelyjoukko (dom(f)) on osajoukko lähtöjoukosta A, ja jokaiselle a ∈ dom(f) on olemassa yksikäsitteinen tulos b ∈ B, jolloin f(a) = b. Näin ollen osatoiminto antaa tuloksen vain joillekin syötteille.

Formaali määritelmä: Osatoiminto f on osittain määritelty funktio f: A → B, jonka määrittely tapahtuu relation F ⊆ A × B siten, että jokaiselle a ∈ dom(F) on täsmälleen yksi b ∈ B, jolloin (a,b) ∈ F. Määrittelyjoukko dom(F) vastaa ne a, joille f(a) on määritelty.

Esimerkit: f(x) = 1/x määritelty kaikille x ∈ ℝ, x ≠ 0; dom(f) = ℝ \ {0}, f(x) = 1/x. Toinen esimerkki: f(x) = sqrt(x) määritelty x ≥ 0; dom = [0, ∞), f(x) = sqrt(x).

Suhde totalifunktioihin ja ohjelmointi: Osatoiminto voidaan laajentaa totaliksi antamalla arvo myös niille syötteille, joille se ei alun perin ollut määritelty, tai käyttämällä vaihtoehtotyyppiä (Option/Maybe), poikkeuksia tai default-arvoja. Monissa ohjelmointikielissä osatoiminnat ovat keskeisiä, ja niille on erillistä hallintalogiikkaa.

Käyttökontekstit ja merkitys: Osatoiminnat mallintavat tilanteita, joissa laskenta voi olla määritelty vain tietyille syötteille, sekä muodollisissa teorioissa että sovelluksissa, joissa syötteet voivat johtaa epäluotettavaan tai määrittelemättömään tulokseen.